不确定性原理的诠释问题

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在量子力学的发展史上，人们往往把1927年作为量子力学革命的终结：这一年的三月，海森堡提出了不确定性原理；同年九月，玻尔则提出了互补性原理。

海森堡当初提出不确定性原理时，实际上用的是“不确定性关系”，并没有使用“原理”一词。不确定性原理的独特的历史与逻辑地位，来源于它的双重身份。一方面，它是量子力学形式体系的数学推论。另一方面，它又是量子力学哥本哈根诠释的重要组成部分。如果说互补性原理是独立于量子力学形式体系的哲学诠释，不确定性原理则是量子力学形式体系的数学推论和独立于量子力学形式体系的哲学诠释的某种混合。

推导与诠释

从历史角度来讲，海森堡提出不确定性原理，是对薛定谔当初所持的波动诠释进行反驳的结果。1926年薛定谔建立波动力学后，一度认为波函数是真实的波。海森堡他拒绝接受薛定谔的波动诠释。如果电子真的是一个波包，那么它在运动中将很快弥散开来，其弥散宽度远大于云室中所观察到的电子径迹的横向宽度。但从矩阵力学出发又该如何解释这一现象呢？这时他想起了爱因斯坦说过，是理论决定了我们能够观察什么。既然矩阵力学否认了电子轨道概念，我们也不可能观察到真正的电子轨道；云室中的径迹实际上不过是一串凝结的水珠。

作为这一思考的结果，海森堡在1927年发表的论文“量子理论的运动学和力学的直观内容”中，从量子力学的形式体系推导出了著名的位置与动量不确定性关系。他假定粒子的位置q是一个高斯分布，从而位置分布的几率幅（即态函数）为

式中δq是高斯分布的半宽度。根据Dirac-Jordan的变换理论，动量分布的几率幅为

即动量分布也是高斯型函数，其半宽度为δp=ħ⁄δq。因此，

δxδp=ħ

换算为标准差（standard deviation）即∆q∆p=ħ/2。

1928年，肯纳德（E.H.Kennard）对海森堡的不确定性关系给出了更一般的推导。按今天的数学语言，它的推导可以表述为：希尔伯特空间中的任意一个量子态既可以按坐标基矢组表示为ψ(q)，也可以按动量基矢组表示为φ(p)。ψ(q)和φ(p)是傅里叶变换对：

而任意傅里叶变换对的标准差之积满足∆q∆p≥ħ/2。

作为量子力学形式体系的推论，不确定性关系的字面意义是非常清楚的：对于任意给定的某个量子态|ψ〉，其位置分布和动量分布的宽度不可能同时任意地狭窄，两者的标准差之积存在一个下限，即ħ/2。但这个字面解释无助于我们理解这一关系的物理意义。特别是，它未能回答如下三个层面的基本问题：

（1）（本体论层面）粒子是否同时具有确定的位置和动量；

（2）（认识论层面）能否同时知道粒子的精确位置与精确动量；

（3）（操作层面）能否同时精确地测量粒子的位置和动量。

事实上，对于上述三个层面的问题的解答，很大程度上取决于一个人所持的一般哲学立场。对于一位实证主义者（特别是操作主义者）来讲，“电子具有某个位置值”这个命题是有意义，当且仅当我们能够测量电子的位置，因此问题（1）是不存在的。对于一位康德主义者来讲，物自体是不可知的，真正有意义的问题是认识论层面的问题。但对于一位实在论来讲，真正需要解答的是问题（1）。假如他对问题（1）给出否定的回答，问题（2）的答案自然也是否定的。但无论他对问题（1）给出何种答案，都跟问题（3）中的能否进行精确测量没有关系。

海森堡的误差-扰动诠释

海森堡本人的诠释，即海森堡的“γ-射线显微镜实验”。海森堡的这一诠释通常当成不确定性关系的“推导”（derivation）或“论证”（argument），其实这是海森堡从自己的哲学立场出发设想的一个思想实验，对量子力学形式体系的推论的一种语义诠释。上文提到，海森堡在力图理解云室中的电子径迹时，受到了爱因斯坦的“是理论决定了我们能够观察到什么”这一思想的启发。既然矩阵力学否认电子具有精确的轨道，那么我们就不可能同时观察到电子的精确位置和动量。

为此海森堡设计了著名的“γ-射线显微镜实验”。按照他的推理，欲精确观察一个电子的位置，就必须使用能量很高的γ-射线，但高能量的γ-射线必然会给电子带来很大的动量扰动。反之，低能量的光子对电子动量扰动较小，但不能同时精确测量电子位置。根据Abbe的显微镜分辨本领公式，假设入射光的波长为λ，物点对透镜半径的张角为θ，那么电子位置的观察误差为∆x~λ/sinθ。再根据康普顿散射的动量守恒定律，并假定散射后光子动量p=h/λ大小不变，仅方向改变，那么光子对电子动量的扰动大小为Δp~h/λsinθ。因此，ΔxΔp~h。这里∆x是观察误差，∆p是动量扰动，所以海森堡对不确定性关系的诠释可以称之为“误差-扰动”诠释或测量干扰诠释。

海森堡对不确定性关系的测量干扰诠释，后来成为了量子力学的哥本哈根诠释的重要组成部分。其实，所谓的“哥本哈根诠释”很大程度上是1950年代的发明，其基本要件包括：玻恩的几率解释；海森堡的不确定性原理（包括测量引起的误差-扰动诠释）；玻尔的互补性原理；冯·诺依曼的投影假设及其波包坍缩诠释。所以，严格来讲并不存在一个统一的“哥本哈根诠释”。

抛开哲学立场，海森堡的误差-扰动诠释仍然面临众多严重的困难。这里我将重点讨论三点。首先，误差-扰动诠释预设了电子在测量前有确定的位置和动量，这一预设不仅与量子理论不符，而且也无法用实验来予以证实。对此，海森堡在1930年的芝加哥讲座中一方面被迫承认“不确定性关系不适用于过去”，另一方面又尽力否认过去时刻的位置和动量值可以作为初值来预测电子的未来行为。这一两难处境，迫使海森堡采取更彻底的实证主义的立场：仅当我们测得电子的位置值或动量值时，电子才有确定的位置值或动量值。按他所设想的实验程序，我们可以先用低能光子来测量电子的动量，进而用高能光子来测量它的位置，然后再用低能光子来测定它的动量变化（由此可以检验误差-扰动诠释下的不确定性原理）。这种“观察创造了现实”的观点，在海森堡在论文中表达得非常明确“我相信可以这样来简洁地表述一个粒子的经典路径的由来：路径之产生，仅仅因为观察之故。”

其次，即使海森堡的γ-射线显微镜论证成立，误差-扰动诠释下的不确定关系与作为量子力学形式体系推论的不确定性关系也是不相干的。给定量子态的位置分布的标准偏差不能理解为观察误差。标准偏差是一个统计概念，不是通过单次测量就可以获得的，而是要通过大量尽可能精确的测量才能获知。同样，给定量子态的动量分布的标准偏差也不能理解为动量转移。近30多年来量子退相干研究的进展，已经能够实现无动量转移的实验。在双缝衍射实验中，我们可以让两条路径分别与粒子的内部自由度（比如自旋）耦合来实现退相干。若依照海森堡的误差-扰动诠释，此时∆p~0，从而∆x∆p~0。

最后要强调的一点是，海森堡的γ-射线显微镜实验并不是一个真正的思想实验。用物理学家兰姆的话说，“海森堡用来定性地讨论他的不确定性关系的γ-射线显微镜并没有提供对位置的测量，它不过是一种散射实验。”而迄今为止的康普顿散射实验，既没能制备出位置静止的自由电子靶，也没有对单个过程中微观粒子的位置做过测量。实际的散射实验靶，是原子中的外层电子。通过测量散射后出射光子的动量分布，可以推断出原子中电子的动量分布;再利用傅里叶变换，即可获知原子中外层电子的位置分布。从动量分布来推断位置分布，等于事先承认了不确定性关系。

不确定性原理的意义

绝大部分的物理学家在实际教学和科研中，都默认了不确定性关系的非统计诠释。量子力学不允许粒子同时具有确定的位置和动量，而不确定性关系为位置和动量的不确定度之积设置了一个下限。海森堡的γ-射线显微镜实验和单缝衍射实验，无非是想利用理想实验来为个体诠释提供物理论证。这些论证如今看来是不能成立的，但这并不妨碍海森堡的目标，即为量子力学的非对易关系提供一个直观的物理解释。

海森堡1927年论述不确定性关系的论文，在英文中通常被翻译为“量子运动学和力学的物理内容”（The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics）；其实，德文标题的直译是“量子理论的运动学和力学的直观内容”（Über den Anschaulichen Inhalt der Quantentheoretischen Kinematik und Mechanik）。海森堡的目标，就是想为形式化的矩阵力学提供一个直观的图像。

海森堡之所以重视直观，是因为薛定谔强调他的波动理论是直观的。在他的理论中，没有矩阵力学中那些神秘的不连续的量子跃迁，只有服从波动方程的时空中的连续演化。当时玻恩的几率解释尚未发表，薛定谔认为他的波函数是时空中真实的波。海森堡显然不能接受这种波动诠释，以致在写给泡利的信中爆了粗口：“薛定谔所谈的其理论的直观性（Anschaulishkeit），......我认为是狗屎（Mist）。”

但海森堡也不得不承认矩阵力学的确缺乏波动力学那样有吸引力的直观性。海森堡所理解的直观性，就是不用理论计算就能定性地看出实验结果。他说：“如果在所有简单情况下，我们都能定性地抓住实验结果，并且看出与理论不会发生任何矛盾，那么我们就获得了对一个物理理论的直观理解。”海森堡所设想的简单情形之一，就是用光子来测量电子的位置和动量：为精确获得电子的位置，就必须使用高能光子；与此同时，电子动量受到较大干扰，从而有δqδp~h。在利用γ-射线显微镜实验获得这一关系之后，他随即写道：“在此情形下，我们看到了关系式pq-qp=-iħ的直接的直观内容。”

动量-位置和能量-时间的不确定性关系的非统计诠释，确实为量子理论的许多形式推论提供了直观的解释。量子隧道效应是量子力学的推论，并且是解释α衰变、热核聚变和发明扫描隧穿显微镜的理论基础。这个有违经典物理的效应，通常都借助于不确定性原理来做直观的理解。同样，在量子场论中广泛应用的费曼图，对应的是理论中的微扰展开项。正是借助于不确定性关系的非统计诠释，我们才有了虚粒子、真空极化和真空涨落这些直观概念。

最后谈一下名称之争：不确定性关系是否有资格被称作不确定性原理?如果“原理”是指成熟理论的逻辑基础，那么不确定性关系显然不具备这样的资格，因为它是量子力学形式体系的推论。但在物理学中，通常并不要求“原理”具备这样的身份。在广义相对论的现代表述中，也少有人把爱因斯坦的等效原理作为该理论的逻辑基础。等效原理之所以被称为“原理”，主要来源于两个事实：其一，它是一个普遍的经验事实，太空仓里的宇航员确实感受不到重力;其二，它是构造理论的脚手架，是爱因斯坦建立广义相对论的第一块基石。以此为标准，不确定性关系勉强可称作“原理”：一方面，它的统计诠释得到了广泛的实验支持;另一方面，它的非统计诠释实际上蕴含在海森堡迈向矩阵力学的第一步之中。海森堡建立矩阵力学，是从否认定态电子的经典轨道开始的。电子没有经典轨道，等于说电子不能同时具有确定的位置与动量。

在纪念海森堡百年诞辰的讲演中，杨振宁先生曾用一两个英文词来简练地刻画四位伟大物理学家的个人风格。他形容泡利的词是“能力”（power），费米是“坚实”（solidity, strength），狄拉克是“笛卡尔式纯净”（Cartesian purity），而海森堡是“深邃的洞察力”（deep insight）。海森堡1927年论不确定性关系的论文，的确显示了海森堡在迷雾中穿行并达到目标的洞察力。

本文节选自《自然辩证法通讯》2019年第41卷第12期